Question

14．已知ABC-A₁B₁C₁是所有棱長均相等的直三棱柱，M是B₁C₁的中點，則下列命題正確的是（　�。�

• A． 在棱AB上存在點N，使MN與平面ABC所成的角為45°
• B． 在棱AA₁上存在點N，使MN與平面BCC₁B₁所成的角為45°
• C． 在棱AC上存在點N，使MN與AB₁平行
• D． 在棱BC上存在點N，使MN與AB₁垂直

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，連接A₁M，AM，根據(jù)直三棱柱得到側(cè)棱與底面垂直，在直角三角形AA₁M中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠AMA₁的值，判斷出∠AMA₁與45°大小判斷即可．

解答 解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，連接A₁M，AM，
由題意得到AA₁⊥面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁M，
在Rt△AA₁M中，設(shè)AA₁=1，則有A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=1，A₁M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AMA₁=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$＞1，
∴∠AMA₁＞45°，
則在棱AA₁上存在點N，使MN與平面BCC₁B₁所成的角為45°，
故選：B．

點評 此題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與面垂直的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．