Question

如圖（1）所示，直角梯形中，，，，．過(guò)作于，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿向上折起，使平面平面．連結(jié)，，（如圖（2））．

（Ⅰ）取線段的中點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出 的長(zhǎng)；不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求平面和平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）存在．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面．

取的中點(diǎn)，連結(jié)，．

由為的中點(diǎn)，得，且 ，

又，且，

所以，，

所以四邊形為平行四邊形，

故．

又平面，平面，

所以平面．    

從而存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)．

（Ⅱ）由平面平面，交線為，且，

所以平面，又，

以E為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，

． ，．

平面的一個(gè)法向量為，   

設(shè)平面的法向量為，

由得    

取，得，   

所以，

即面和平面所成的銳二面角的余弦值為