Question

16．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax²+bx+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，3）上有極值點(diǎn)，且在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線x+y-2=0垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{5}{4}$）
• B． （1，$\frac{5}{3}$）
• C． [1，$\frac{5}{4}$）
• D． [1，$\frac{5}{3}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程求出b，通過函數(shù)的極值，利用函數(shù)的單調(diào)性求解a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax²+bx+1可得：f′（x）=x²-2ax+b，且在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線x+y-2=0垂直，可得f′（0）=b=1．
在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，3）上有極值點(diǎn)，即x²-2ax+1=0，在（$\frac{1}{2}$，3）上有根．
可得a=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$．
由于函數(shù)a=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，在（$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，在（1，3）上是增函數(shù)．
可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)a取得最小值為1．
再根據(jù)當(dāng)a趨于$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)a趨于$\frac{5}{4}$；當(dāng)a趨于3時(shí)，函數(shù)值a趨于$\frac{5}{3}$．
a=1導(dǎo)函數(shù)為：（x-1）²，恒大于等于零，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，應(yīng)舍去．
可得a的范圍是：（$1，\frac{5}{3}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的切線方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．