Question

2．已知△ABC是腰長(zhǎng)為2等腰直角三角形，D點(diǎn)是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上，且$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$
• B． -$\frac{10}{9}$
• C． 0
• D． 4

Answer 1

分析 以CB，CA兩直線分別為x，y軸，建立坐標(biāo)系，根據(jù)條件可求出C，A，B，D幾點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），而根據(jù)$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，然后進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可．

解答 解：如圖，分別以邊CB，CA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（1，1）；
設(shè)P（x，y），∵$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$；
（x，y）=$\frac{1}{2}$（1-x，1-y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}（1-x）}\\{y=\frac{1}{2}（1-y）}\end{array}\right.$；
解得$x=y=\frac{1}{3}$；
∴$P（\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$，$\overrightarrow{PA}=（-\frac{1}{3}，\frac{5}{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（\frac{5}{3}，-\frac{1}{3}）$；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{10}{9}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)求數(shù)量積的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算．