Question

18．設(shè)有兩個命題：命題p：函數(shù)f（x）=-x²+ax+1在[1，∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；命題q：已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減，若命題p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得命題p真時a的取值范圍，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得f（x）的解析式，f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減可求得實數(shù)a的取值范圍，再由“p或q“為真即可求得答案．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=-x²+ax+1在[1，∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤1，∴a≤2；
又命題q：已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，
∴f（-1）=-m+n=2①
f′（-1）=3m（-1）²+2n（-1）=-2，即3m-2n=-2②
由①②得：m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，
∴f′（x）=6x²+8x=2x（3x+4），
∴當(dāng)-$\frac{4}{3}$≤x≤0時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-$\frac{4}{3}$，0]上單調(diào)遞減；
∵f（x）=2x³+4x²在[a，a+1]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{4}{3}}\\{a+1≤0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{4}{3}$≤a≤-1，
若命題p或q為真，p且q為假，則p，q一真一假，
p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞-1或a＜-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴-1＜a≤2或a＜-$\frac{4}{3}$，
p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{-\frac{4}{3}≤a≤-1}\end{array}\right.$無解，
綜上：-1＜a≤2或a＜-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查命題的真假判斷與應(yīng)用，求得命題p真與命題q真時實數(shù)a的取值范圍是關(guān)鍵，屬于中檔題．