Question

12．已知函數(shù)f（x）=（-2ax+a+1）e^x．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0≤a≤1，求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，求出函數(shù)的導數(shù)，f'（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax-a+1）e^x，討論a與0的關系，確定單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論$\frac{1-a}{2a}$與區(qū)間端點的大小關系，確定函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，進一步求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax-a+1）e^x，
①當a=0時，f'（x）=e^x＞0，所以原函數(shù)在R上為增函數(shù)；
②當a≠0時，令f'（x）=（-2ax-a+1）e^x=0，解得x=$\frac{1-a}{2a}$，
a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，$\frac{1-a}{2a}$），遞減區(qū)間是（$\frac{1-a}{2a}$，+∞）；
a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間是（-∞，$\frac{1-a}{2a}$），遞增區(qū)間是（$\frac{1-a}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）當0≤a≤1時，并且$\frac{1-a}{2a}＜1$時，即$\frac{1}{3}$＜a＜1時，
函數(shù)f（x）在[0，$\frac{1-a}{2a}$]上遞增，在[$\frac{1-a}{2a}$，1]上遞減，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為f（$\frac{1-a}{2a}$）=2a${e}^{\frac{1-a}{2a}}$，又f（0）=a+1，f（1）=（1-a）e，所以最小值為a+1．
當$\frac{1-a}{2a}≥1$時，即0≤a≤$\frac{1}{3}$時，數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以其最大值為分f（1）=（1-a）e，最小值為f（0）=a+1；

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法以及討論的思想求函數(shù)的最值，屬于中檔題．