Question

【題目】設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成:①②存在實(shí)數(shù)使得對任意正整數(shù)都成立.

(1)現(xiàn)在給出只有5項(xiàng)的有限數(shù)列試判斷數(shù)列是否為集合的元素；

(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為且若對任意正整數(shù)點(diǎn)均在直線上，證明:數(shù)列并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)數(shù)列若數(shù)列沒有最大值，求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2），；（3）證明略

【解析】

（1）由于，可知數(shù)列不滿足條件①．（2）由于點(diǎn)，在直線

上，可得，利用遞推關(guān)系可得：，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：，驗(yàn)證，可知：條件①成立．由于，即可得出條件②及其，的范圍．（3）利用反證法證明.

（1）解：，因此數(shù)列不滿足條件①，數(shù)列．

（2）證明：點(diǎn)，在直線上，，

當(dāng)時(shí)，，可得：，化為，

n=1時(shí)，易知，顯然

數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為．，

則，

．條件①成立．

由于，，．

（3）證明：（反證法）若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)，使成立，

當(dāng)時(shí)，由，得，

而，所以．

顯然在， ，，這項(xiàng)中一定存在一個(gè)最大值，不妨記為，

所以為，這與數(shù)列沒有最大值相矛盾．

所以假設(shè)不成立，故命題得證．