Question

6．已知平面區(qū)域M={（x，y）|x²+y²≤4}，N={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{y≥mx+2m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\end{array}\right.$}，在區(qū)域M上隨機(jī)取一點(diǎn)A，A落在區(qū)域N內(nèi)的概率為P（N），若P（N）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3π+2}{4π}$]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1]
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0]
• C． [-1，1]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過(guò)定點(diǎn)（-2，0），結(jié)合概率范圍可知直線與圓的關(guān)系，直線以（-2，0）點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與x軸重合，從而確定直線的斜率范圍．

解答 解：畫(huà)出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過(guò)定點(diǎn)（-2，0），
平面區(qū)域M={（x，y）|x²+y²≤4}，是圓及其內(nèi)部，直線過(guò)（-2，0），（0，2）時(shí)，
它們圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)A，
m=-1時(shí)，N={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{y≥mx+2m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\end{array}\right.$}的面積為3π+2，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（N），此時(shí)P（M）=$\frac{3π+2}{4π}$，
當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，P（N）=$\frac{1}{2}$；
直線的斜率范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，幾何概型，直線系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是好題，難度較大．