Question

16．一中高三年級(jí)在一次考試的數(shù)學(xué)題中，設(shè)立了平面幾何、極坐標(biāo)與參數(shù)方程的不等式三道選做題，若張明、王小強(qiáng)、李文3名學(xué)生必須且只需從中選做一題，且每名學(xué)生選做何題相互獨(dú)立．
（1）求張明、王小強(qiáng)、李文3名學(xué)生有且只有一人選做平面幾何，沒(méi)有人選做不等式試題的概率；
（2）求這3名學(xué)生選做不等式或平面幾何題的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）基本事件總數(shù)為4³，張明、王小強(qiáng)、李文3名學(xué)生有且只有一人選做平面幾何，沒(méi)有人選做不等式試題包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{2}×2×2$，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果．
（2）不等式或平面幾何被這3名學(xué)生選做的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“張明、王小強(qiáng)、李文3名學(xué)生有且只有一人選做平面幾何，沒(méi)有人選做不等式試題”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}×2×2}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{16}$．
答：張明、王小強(qiáng)、李文3名學(xué)生有且只有一人選做平面幾何，沒(méi)有人選做不等式試題的概率為$\frac{3}{16}$．
（2）不等式或平面幾何被這3名學(xué)生選做的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{2}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{A}_{2}^{1}×{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{1}×2+{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}×2}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}+{C}_{3}^{3}{A}_{2}^{1}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{64}$	$\frac{24}{64}$	$\frac{24}{64}$	$\frac{8}{64}$

Eξ=$0×\frac{8}{64}+1×\frac{24}{64}+2×\frac{24}{64}+3×\frac{8}{64}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．