Question

16．已知線段AB是半徑為2的球O的直徑，C，D兩點在球O的球面上，CD=2，AB⊥CD，45°≤∠AOC≤135°，則四面體ABCD的體積的取值范圍是$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 判斷棱錐體積取得最值的位置，求出四面體ABCD的體積的最值，即可得到范圍．

解答 解：線段AB是半徑為2的球O的直徑，C，D兩點在球O的球面上，CD=2，AB⊥CD，45°≤∠AOC≤135°，
則四面體ABCD的體積的最小值是∠AOC=45°或135°時，經(jīng)過CD與AB垂直的截面面積最小，如圖（1）中三角形ECD，F(xiàn)為CD的中點，EC=OCsin45°=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{（{\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$
S_△ECD=$\frac{1}{2}$CD•EF=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$=1．
棱錐體積的最小值為：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$×4=$\frac{4}{3}$．
當∠AOC=90°時，經(jīng)過CD與AB垂直的截面面積最大，如圖（2），截面三角形OCD是正三角形，邊長為2．
棱錐體積的最大值為：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
四面體ABCD的體積的取值范圍是：$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．
故答案為：$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

點評 本題考查球的內(nèi)接體，幾何體的體積的最值的求法，考查空間想象能力以及計算能力．