Question

18．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸，長、短軸長之比為2：1，若圓x²+y²-4y+3=0上的點P到此橢圓上點Q的最大值為1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a=2b＞0），即$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．圓x²+y²-4y+3=0化為x²+（y-2）²=1．圓心（0，2）到橢圓上的點Q（2bcosθ，bsinθ）的距離d=$\sqrt{-3^{2}（sinθ+\frac{2}{3b}）^{2}+4^{2}+\frac{16}{3}}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a=2b＞0），即$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
圓x²+y²-4y+3=0化為x²+（y-2）²=1．
圓心（0，2）到橢圓上的點Q（2bcosθ，bsinθ）的距離d=$\sqrt{4^{2}co{s}^{2}θ+（bsinθ-2）^{2}}$=$\sqrt{-3^{2}（sinθ+\frac{2}{3b}）^{2}+4^{2}+\frac{16}{3}}$，
當$\frac{2}{3b}$≥1時，sinθ=-1時取得最大值，∴b+2=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，解得b=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$＞$\frac{2}{3}$，舍去．
當0＜$\frac{2}{3b}$＜1時，sinθ=-$\frac{2}{3b}$時取得最大值，∴$\sqrt{4^{2}+\frac{16}{3}}$=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，

解得b²=2+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴4b²=$8+\frac{8\sqrt{21}}{3}$．
∴此橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8+\frac{8\sqrt{21}}{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2+\frac{2\sqrt{21}}{3}}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．