Question

9．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，SA⊥AB，SA⊥AC，AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=2$\sqrt{2}$cm，SC=5cm．
（1）求點(diǎn)S到平面ABCD的距離；
（2）求點(diǎn)S到直線BC的距離；
（3）求異面直線SC與AB所成的角的正切值；
（4）求直線SB與平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得SA⊥平面ABCD，由此能求出S到平面ABCD的距離．
（2）由已知條件利用三垂線定理推導(dǎo)出SB⊥BC，由此能求出點(diǎn)S到直線BC的距離．
（3）由SA⊥平面ABCD，得∠SCA是直線SC與平面ABCD所成角，由此能求出異面直線SC與AB所成的角的正切值．
（4）由SA⊥平面ABCD，得∠SBA是直線SB與平面ABCD所成角，由此能求出異面直線SB與AB所成的角的正切值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABCD，
∵AB=2$\sqrt{2}$cm，SC=5cm，
∴$AC=\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴S到平面ABCD的距離SA=$\sqrt{S{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm）．
（2）∵SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，
∴SB⊥BC，∴SB是點(diǎn)S到直線BC的距離，
∴點(diǎn)S到直線BC的距離SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{9+8}$=$\sqrt{17}$（cm）．
（3）∵SA⊥平面ABCD，∴∠SCA是直線SC與平面ABCD所成角，
∵SA=3，AC=4，
∴tan∠SCA=$\frac{SA}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴異面直線SC與AB所成的角的正切值為$\frac{3}{4}$．
（4）SA⊥平面ABCD，∴∠SBA是直線SB與平面ABCD所成角，
∵SA=3，AB=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠SBA=$\frac{SA}{AB}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴異面直線SB與AB所成的角的正切值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離、異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．