Question

14．4位男生和4位女生共8位同學(xué)站成一排，計算下列情況：
（1）男生甲和女生乙相鄰排隊的概率；
（2）男生甲和女生乙順序固定的概率；
（3）男生甲不站左端且女生乙不站右端隊的排法有幾種．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先由排列數(shù)公式計算8人排成一排的情況數(shù)目，再分2步計算男生甲和女生乙相鄰排隊的情況：①、將甲、乙看成一個元素，考慮其順序，有2種情況，
②、將甲乙與其他人進行全排列，共7個元素，由分步計數(shù)原理可得男生甲和女生乙相鄰排隊的情況數(shù)目；由古典概型計算公式計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，先由排列數(shù)公式計算8人排成一排的情況數(shù)目，再由倍分法計算甲、乙順序一定的情況數(shù)目，由古典概型計算公式計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①男生甲站右端，將剩下的7個人進行全排列，安排其他位置即可，②男生甲不站右端，依次分析甲、乙、以及其他6人的站法數(shù)目，可得此時的站法數(shù)目；最后由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，先將8個人排成一排，進行全排列，有A₈⁸=8A₇⁷=40320種情況，
再分2步計算男生甲和女生乙相鄰排隊的情況：
①、將甲、乙看成一個元素，考慮其順序，有2種情況，
②、將甲乙與其他人進行全排列，共7個元素，有A₇⁷=5040種情況，
共有2×A₇⁷=2×5040=10080種情況；
則男生甲和女生乙相鄰排隊的概率為$\frac{10080}{40320}$=$\frac{1}{4}$；
（2）先對8個人全排列，有A₈⁸=40320種情況，
其中甲乙的順序有兩種情況，即甲在乙前或甲在乙后，數(shù)目各占一半，
則甲、乙順序一定的情況有$\frac{1}{2}$×40320=20160種，
則男生甲和女生乙順序固定的概率為$\frac{20160}{40320}$=$\frac{1}{2}$；
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①男生甲站右端，將剩下的7個人進行全排列，安排其他位置即可，有A₇⁷=5040種站法，
②男生甲不站右端則有6種選擇，而女生乙也有6種選擇，剩下6人進行全排列，安排其他位置有A₆⁶=720種排法，
則有6×6×720=25920種站法；
所以共有5040+25920=30960種．

點評 本題主要考查排列、組合的運用，涉及古典概型的計算，解題的關(guān)鍵要掌握常見排列、組合問題的處理方法，優(yōu)先分析受限制的元素，不相鄰問題用插空法，相鄰問題用捆綁法．