Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若存在x∈R使得f（x）≤a²-2a+1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤6的解集．
（2）由題意可得 f（x）_min≤a²-2a+1，由絕對(duì)值的意義可得 f（x）_min=4，故有4≤a²-2a+1，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-2 和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集為{x|x≤-2，或 x≥4}．
（2）若存在x∈R使得f（x+1）≤a²-2a+1成立，則 f（x）_min≤a²-2a+1，由絕對(duì)值的意義可得 f（x）_min=4，
故有4≤a²-2a+1，求得a≤-1，或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．