Question

3．將下列方程化為有理方程：|$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$|=2a（其中0＜a＜c）．

Answer 1

分析 利用有理化因式及其平方即可得出．

解答 解：∵|$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$|=2a（其中0＜a＜c）．
∴$\frac{4cx}{\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}}$=2a，
∴$\frac{2cx}{a}$=$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$，
又$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=±2a（其中0＜a＜c）．
∴$2\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2cx}{a}±2a$，
∴（x+c）²+y²=$（\frac{cx}{a}±a）^{2}$，
整理為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，其中b²=c²-a²，即化為有理方程．

點評 本題考查了有理化因式及其平方法、根式的運算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題．