Question

13．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面ABM的法向量，進(jìn)而即可求出線面角．

解答 解：（1）證明：由題意，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
∵BM∩AB=B，
∴PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）可知：PD⊥平面ABM，∴PD⊥AM，又在Rt△PAD，PA=AD，∴PM=MD．
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
由（1）可知：$\overrightarrow{PD}$是平面ABM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-4），
又$\overrightarrow{PC}$=（2，4，-4），
設(shè)PC與平面ABM所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{32}{\sqrt{32}•\sqrt{36}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量與斜向量求出線面角是解題的關(guān)鍵．