Question

10．設(shè)橢圓C的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁的直線與橢圓C交于點(diǎn)M，N，若|MF₂|=|F₁F₂|，且|MF₁|=4，|NF₁|=3，則橢圓Г的離心率為（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)橢$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），運(yùn)用橢圓的定義，可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，取MF₁的中點(diǎn)K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
由橢圓的定義可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，
|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，
即a-c=2，①
取MF₁的中點(diǎn)K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，
由勾股定理可得|MF₂|²-|MK|²=|NF₂|²-|NK|²，
即為4c²-4=（2a-3）²-25，化簡即為a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用和離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．