Question

15．已知函數(shù)f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；
（2）由于知曉f（-3）=a故解本題關(guān)鍵是找出f（12）與f（-3）之間的關(guān)系，注意用（1）的結(jié)論．

解答 解：（1）證明：顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對稱．
又∵函數(shù)對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵f（-3）=a且f（x）為奇函數(shù)，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）
=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．

點(diǎn)評 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式，在第二問的求值中根據(jù)恒等式的結(jié)構(gòu)把已知用未知表示出來，做題時(shí)注意體會(huì)抽象函數(shù)恒等式的用法規(guī)律．