Question

9．已知等差數列{a_n}的各項均為正數a₁=1，前n項和為S_n，{b_n}為等比數列，b₁=1，前n項和為T_n，且b₂S₂=12，b₃S₃=81，設c_n=a_nb_n，{c_n}的前n項和為M_n，求M_n．

Answer 1

分析 設出等差數列的公差和等比數列的公比，利用已知列式求得公差和公比，代入等差數列和等比數列的通項公式得a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，再利用錯位相減法得答案．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，
由a₁=1，b₁=1，b₂S₂=12，b₃S₃=81，得$\left\{\begin{array}{l}{q（2+d）=12}\\{{q}^{2}（3+3d）=81}\end{array}\right.$，
∵等差數列{a_n}的各項均為正數，
∴d=2，q=3．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，
∴c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴M_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1①
3M_n=1×3¹+3×3²+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ②
①-②得-2M_n=1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ=-（2n-2）×3ⁿ-2
∴M_n=（n-1）×3ⁿ+1

點評 本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了數列的前n項和，是中檔題，求數列的前n項和，首先應該求出數列的通項，判斷通項的特點，選擇合適的求和方法．