Question

4．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），則數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6項(xiàng)和為（　�。�

• A． -3
• B． -$\frac{1}{15}$
• C． $\frac{1}{15}$
• D． 3

Answer 1

分析 a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），變形為（-1）ⁿ（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂項(xiàng)求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}+（-1）^{n}\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{n}$．對n分類討論可得：a_n=（-1）ⁿ⁺¹n．于是$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{（-1）^{n}（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n}\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．即可得出．

解答 解：∵a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），
∴（-1）ⁿ（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$-$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}）$+$（\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}）$-…+（-1）ⁿ$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n}}）$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=1-$\frac{1}{n}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$1-\frac{1}{n}$，
∴a_n=n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{n}$，解得a_n=-n．
∴a_n=（-1）ⁿ⁺¹n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{（-1）^{n}（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n}\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6項(xiàng)和=$\frac{1}{4}[-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$-…+$（\frac{1}{13}+\frac{1}{15}）]$
=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{15}-\frac{1}{3}）$
=-$\frac{1}{15}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形能力，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．