Question

17．已知x₁，x₂分別是2^x+2x-5=0，log₂（x-1）²+2x-5=0的兩根，則x₁+x₂=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 先由題中已知分別將x₁、x₂所滿足的關(guān)系表達為，2x₁=2log₂（5-2x₁），系數(shù)配為2是為了與下式中的2x₂對應(yīng)2x₂+2log₂（x₂-1）=5，觀察兩個式子的特點，發(fā)現(xiàn)要將真數(shù)部分消掉求出x₁+x₂，只須將5-2x₁化為2（t-1）的形式，則2x₁=7-2t，t=x₂

解答 解：由題意：${2}^{{x}_{1}}+2{x}_{1}-5=0$①
2log₂（x₂-1）+2x₂-5=0  ②
所以由①得：${2}^{{x}_{1}}=-2{x}_{1}+5$，即x₁=log₂（5-2x₁）即2x₁=2log₂（5-2x₁），
令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1）⇒5-2t=2log₂（t-1）．
又∵由②式得：5-2x₂=2log₂（x₂-1），易知t=x₂
于是2x₁=7-2x₂
即x₁+x₂=$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$

點評 本題涉及的是兩個非整式方程，其中一個是指數(shù)方程，一個是對數(shù)方程，這兩種方程均在高考考綱范圍之內(nèi)，因此此題中不用分別解出兩個方程，分別求出x₁，x₂，再求x₁+x₂，這樣做既培養(yǎng)不了數(shù)學解題技巧，也會浪費大量時間．