Question

3．函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{4{m}^{9}-{m}^{5}-1}$是冪函數(shù)，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，滿足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，則f（a）+f（b）的值（　　）

• A． 恒大于0
• B． 恒小于0
• C． 等于0
• D． 無法判斷

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出冪函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，求出f（a）+f（b）＞0．

解答 解：根據(jù)題意，得
f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{4{m}^{9}-{m}^{5}-1}$是冪函數(shù)，
∴m²-m-1=1，
解得m=2或m=-1；
又f（x）在第一象限是增函數(shù)，
且當(dāng)m=2時(shí)，指數(shù)4×2⁹-2⁵-1=2015＞0，滿足題意；
當(dāng)m=-1時(shí)，指數(shù)4×（-1）⁹-（-1）⁵-1=-4＜0，不滿足題意；
∴冪函數(shù)f（x）=x²⁰¹⁵是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)；
又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞-b，
又ab＜0，不妨設(shè)b＜0，
即a＞-b＞0，∴f（a）＞f（-b）＞0，
f（-b）=-f（b），
∴f（a）＞-f（b），∴f（a）+f（b）＞0．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．