Question

17．已知圓A：（x+2）²+y²=1與點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（1）△PAB的周長為10；
（2）圓P與圓A外切（P為動(dòng)圓圓心）且過點(diǎn)B．

Answer 1

分析 （1）利用△PAB的周長為10，可得PA+PB=6＞AB，從而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=6，c=2，即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知條件，知|PA|=r+1，|PB|=r，所以|PA|-|PB|=1，可得點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（不包括右頂點(diǎn)），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵△PAB的周長為10，
∴PA+PB=6＞AB，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=6，c=2，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）圓A：（x+2）²+y²=1的圓心為點(diǎn)A（-2，0），半徑為1．
設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），半徑為r．
由已知條件，知|PA|=r+1，|PB|=r，
∴|PA|-|PB|=1，
∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（不包括右頂點(diǎn)），2a′=1，c′=2，
∴a′=$\frac{1}{2}$，b′=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}=1$（x$＞\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查橢圓、雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義是關(guān)鍵．