Question

8．在極坐標系中，P為曲線C₁：p=2cosθ上的任意一點，點Q在射線OP上，且滿足|OP|•|OQ|=6，記Q點的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂于點A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得Q（ρ，θ），P（ρ′，α），由|OP|•|OQ|=6，得2ρcosθ=1，由此能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出曲線C₁：x²+y²-2x=0，曲線C₂：x=3，直線l：y=$\sqrt{3}x$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點，點Q在射線OP上，
∴Q（ρ，θ），P（ρ′，α），
∵滿足|OP|•|OQ|=6，∴ρ•ρ′=6，
∵M是C₁上任意一點，∴ρ₂sinθ=3，即ρ₁=3sinθ．
∴曲線C₂的極坐標方程為ρ=3sinθ，
∴x=3．
即曲線C₂的直角坐標方程x=3．
（Ⅱ）曲線C₁：p=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₁：x²+y²-2x=0，是以（1，0）為圓心，以$r=\frac{1}{2}\sqrt{（-2）^{2}}$=1為半徑的圓，
曲線C₂：x=3，
直線l：θ=$\frac{π}{3}$，即y=$\sqrt{3}x$，
取立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂于點A、B兩點，
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}）^{2}}$=5．

點評 本題考查曲線的直角坐標的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式、兩點間距離公式的合理運用．