Question

13．公差不為零的等差數列{a_n}中，a₁，a₂，a₅成等比數列，且該數列的前10項和為100，數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=a${\;}_{_{n}}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記得數列{$\frac{1+{a}_{n}}{4_{n}}$}的前n項和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設等差數列{a_n}的公差為d，由于a₁，a₂，a₅成等比數列，且該數列的前10項和為100，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+4d），10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，聯(lián)立解得a₁，d，即可得出a_n．又滿足S_n=a${\;}_{_{n}}$，n∈N^*，可得S_n=2b_n-1，利用遞推關系可得：b_n．
（II）$\frac{1+{a}_{n}}{4_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．再利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式，數列的單調性即可得出．

解答 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁，a₂，a₅成等比數列，且該數列的前10項和為100，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+4d），10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，聯(lián)立解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
又滿足S_n=a${\;}_{_{n}}$，n∈N^*，∴S_n=2b_n-1，當n=1時，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1），化為：b_n=2b_n-1，
∴數列{b_n}是等比數列，首項為1，公比為2．
∴b_n=2^n-1．
（II）$\frac{1+{a}_{n}}{4_{n}}$=$\frac{1+2n-1}{4×{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴前n項和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
n≥2時，T_n-T_n-1=$\frac{n}{{2}^{n}}$＞0．
∴數列{T_n}單調遞增，
∴$\frac{1}{2}≤$T_n＜2．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推關系的應用、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．