Question

14．如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

（1）若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？（已知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的面積公式為S=πab，柱體體積為底面積乘以高．）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的$\sqrt{2}$倍，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價最少．

Answer 1

分析 （1）先建立直角坐標系，找到對應橢圓方程再把b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，即可求出隧道設計的拱寬l是多少；
（2）轉化為求半橢圓的面積最小值問題，對橢圓方程用基本不等式即可求出對應的半橢圓面積以及滿足要求的拱高h和拱寬l．
（3）先求出總造價的表達式，再利用導函數(shù)研究其最值即可．

解答 解：（1）如題干圖形建立直角坐標系，則點P（10，2），橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
將b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，得a=6$\sqrt{5}$，
∴l(xiāng)=2a=12$\sqrt{5}$，
即隧道的拱寬約為12$\sqrt{5}$m；
（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：
只需半橢圓的面積最小即可．
由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得：$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{2}^{2}}{^{2}}=1$．
因為$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{2}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{40}{ab}$，當且僅當$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{^{2}}$時取等號，
∴$\frac{40}{ab}$≤1，即ab≥40，
∴半橢圓面積S=$\frac{πab}{2}$≥$\frac{40π}{2}$=20π．
當S取最小值時，有$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{^{2}}$=$\frac{1}{2}$，得a=10$\sqrt{2}$、b=2$\sqrt{2}$，
此時l=2a=20$\sqrt{2}$，h=b+3=$2\sqrt{2}$+3，
故當拱高為（$2\sqrt{2}$+3）m、拱寬為20$\sqrt{2}$m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小；
（3）設M（x，2），N（-x，2），則10≤x≤15，
設f（x）=2x+$2\sqrt{2}$•$\sqrt{（x-15）^{2}+（2-0）^{2}}$=2[x+$\sqrt{2（{x}^{2}-30x+229）}$]（10≤x≤15），
令f′（x）=$\frac{2[\sqrt{{x}^{2}-30x+229}+\sqrt{2}（x-15）]}{\sqrt{{x}^{2}-30x+229}}$=0，得：x=13或x=17（舍），
∴當x=13時，f（x）取最小值，此時M（13，2）、N（-13，2），
代入橢圓方程得：b=$\frac{25\sqrt{14}}{14}$，
∴h=3+b=3+$\frac{25\sqrt{14}}{14}$．

點評 本題是一道關于橢圓的及導數(shù)的綜合應用題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．