Question

9．已知正四棱柱（底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{2}$AB，E為AA₁中點(diǎn)，則異面直線BE與C₁D所成角的余弦為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． 0

Answer 1

分析 以DA，DC，DD₁三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)AB=1，這樣便可求出B，E，D，C₁幾點(diǎn)的坐標(biāo)，從而會得出$\overrightarrow{BE}=（0，-1，\frac{\sqrt{2}}{2}），\overrightarrow{{C}_{1}D}=（0，-1，-\sqrt{2}）$，這樣便有$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$，從而得出異面直線BE與C₁D所成角的余弦值為0．

解答 解：如圖，分別以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則：
D（0，0，0），${C}_{1}（0，1，\sqrt{2}）$，B（1，1，0），$E（1，0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}=（0，-1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（0，-1，-\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$；
∴$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{{C}_{1}D}$；
∴異面直線BE與C₁D所成角為90°，其余弦值為0．
故選：D．

點(diǎn)評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角的余弦值的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，以及非零向量垂直的充要條件．