Question

19．已知在平面內點P到兩定點${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$的距離之和為4．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，若直線l：y=-ex+m（其中e為曲線C的離心率）與曲線C有兩個不同的交點A與B且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$（其中O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析 （1）通過設點P的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，利用2a=24、c=$\sqrt{3}$，計算即得結論；
（2）通過（1）可知$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、化簡$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，進而計算可得結論．

解答 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4（|F₁F₂|＜4），
∴點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點，長軸長為4的橢圓．…（2分）
設P（x，y），則軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，…（3分）
∴$a=2，c=\sqrt{3}$．
又∵b²=a²-c²，
∴b=1…（5分）
∴點P的軌跡方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴直線$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得${x^2}+4{（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m）^2}=4$，
整理得${x^2}-\sqrt{3}x+{m^2}-1=0$…（8分）
∴$△={（-\sqrt{3}m）^2}-4（{m^2}-1）=4-{m^2}＞0$…（9分）
${x_1}+{x_2}=\sqrt{3}m，{x_1}{x_2}={m^2}-1$…（11分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+m）（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+m）$
=$\frac{7}{4}{x_1}{x_2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$\frac{7}{4}（{m^2}-1）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m•\sqrt{3}m+{m^2}$
=$\frac{5}{4}{m^2}-\frac{7}{4}$…（12分）
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，
∴$\frac{5}{4}{m^2}-\frac{7}{4}=2$，
∴$m=±\sqrt{3}$．代入①得△＞0，滿足題意，
∴所求實數m的值為$±\sqrt{3}$．…（14分）

點評 本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查待定系數法、數形結合的數學思想與方法，以及運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．