Question

8．已知焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓C：mx²+ny²=1過點(diǎn)P（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，A、B是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率滿足k_PAk_PB=$\frac{2}{3}$，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求三角形PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：mx²+ny²=1過點(diǎn)P（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，建立方程，求出m，n，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PA：y=kx+1，代入橢圓方程可得A的坐標(biāo)，由直線PB的方程為y=$\frac{2}{3k}$x+1，可得B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，可得S關(guān)于k的式子，運(yùn)用基本不等式，即可求得最大值．

解答 解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：mx²+ny²=1過點(diǎn)P（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴n=1，$\frac{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{m}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線PA：y=kx+1，代入橢圓方程可得，（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
可得A（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
由斜率k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，
直線PB的方程為y=$\frac{2}{3k}$x+1，代入橢圓方程，可得交點(diǎn)B為（-$\frac{12k}{4+3{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}+4}$），
則△PAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|PA|•d（d為B到直線PA的距離）=$\frac{12|2k-3{k}^{3}|}{（3{k}^{2}+1）（3{k}^{2}+4）}$，
可令k＞0，上式分子分母同除以k²，
可得S=$\frac{12|3k-\frac{2}{k}|}{9{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+15}$，
再令|3k-$\frac{2}{k}$|=t，
即有S=$\frac{12t}{{t}^{2}+27}$=$\frac{12}{t+\frac{27}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{27}{t}$即t=3$\sqrt{3}$，可得k=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$，△PAB面積取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和橢圓方程求交點(diǎn)，同時(shí)考查三角形面積公式和點(diǎn)到直線的距離和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．