Question

4．已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC為等邊三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，則該球的體積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{27}$πa²
• B． $\frac{32\sqrt{2}}{27}$πa²
• C． $\frac{32\sqrt{3}}{27}$πa³
• D． $\frac{32\sqrt{3}}{9}$πa³

Answer 1

分析 由題意把三棱錐P-ABC擴展為三棱柱，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，然后求出球的體積．

解答 解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，
把三棱錐P-ABC擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，
PA=2AB=2a，OE=a，△ABC是正三角形，∴AB=a，
∴AE=$\frac{2}{3}\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴AO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴V_球=$\frac{4}{3}$π•$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$πa³，
故選：C．

點評 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．