Question

19．已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1，直線l：4x+3y+8=0，已知P（x₀，y₀）是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．
（1）求AB所在直線方程；
（2）求四邊形PACB面積的最小值；
（3）求△CAB面積的最大值．．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)A，B，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程，再代入P的坐標(biāo)，即可得到切點(diǎn)弦AB的方程；
（2）運(yùn)用切線的性質(zhì)和四邊形的面積求法，可得四邊形PACB面積S=|PA|，再由勾股定理和C到直線的距離最小，計(jì)算即可得到；
（3）求出C到直線AB的距離d，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，再由P（x₀，y₀）在直線4x+3y+8=0上，得到d的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可計(jì)算得到三角形CAB的面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
對(duì)（x-2）²+（y-2）²=1兩邊取x的導(dǎo)數(shù)，可得
2（x-2）+2（y-2）y′=0，即有y′=$\frac{x-2}{2-y}$，
對(duì)A，有y-y₁=$\frac{{x}_{1}-2}{2-{y}_{1}}$（x-x₁），
又（x₁-2）²+（y₁-2）²=1，
化簡(jiǎn)整理可得直線PA：（x-2）（x₁-2）+（y-2）（y₁-2）=1，
同理可得直線PB：（x-2）（x₂-2）+（y-2）（y₂-2）=1，
P（x₀，y₀）滿足PA，PB的方程，可得（x₀-2）（x₁-2）+（y₀-2）（y₁-2）=1，
（x₀-2）（x₂-2）+（y₀-2）（y₂-2）=1，
即有直線AB的方程為得（x₀-2）（x-2）+（y₀-2）（y-2）=1，
即為（x₀-2）x+（y₀-2）y-2x₀-2y₀+7=0；
（2）由切線的性質(zhì)可得AC⊥PA，BC⊥PB，
四邊形PACB面積S=2×$\frac{1}{2}$|PA|r=|PA|，
由于|PA|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，要求|PA|的最小，只要求|PC|的最小值．
當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PC|最小，
且為$\frac{|4×2+3×2+8|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{22}{5}$，此時(shí)|PA|=$\frac{3\sqrt{51}}{5}$．
四邊形PACB面積的最小值為$\frac{3\sqrt{51}}{5}$；
（3）C到直線AB的距離為d=$\frac{|2（{x}_{0}-2）+2（{y}_{0}-2）-2{x}_{0}-2{y}_{0}+7|}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{1-ra5lvlp^{2}}$，
即有S_△CAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=d$\sqrt{1-kn4vrnc^{2}}$，
由P（x₀，y₀）在直線4x+3y+8=0上，
則有$\frac{1}9ozzxe9$≥$\frac{22}{5}$（C到直線l的距離），
則0＜d≤$\frac{5}{22}$，
由d$\sqrt{1-pp5amel^{2}}$=$\sqrt{jygq5t0^{2}（1-0hiucfq^{2}）}$=$\sqrt{-（pj5eqxe^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$
則有d=$\frac{5}{22}$時(shí)，△CAB面積取得最大值，且為$\frac{15\sqrt{51}}{484}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查圓的切點(diǎn)弦方程的求法和四邊形面積的最值及三角形面積的最值，注意運(yùn)用切線的性質(zhì)和勾股定理以及圓的弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題和易錯(cuò)題．