Question

13．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（-1）=2
（1）求f（0），f（-2）的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將x=y=0代入已知等式確定出f（0）的值，把x=-1，y=-1代入已知等式化簡，將f（-1）=2代入求出f（-2）的值即可；
（2）令y=-x，得到x+y=0，代入已知等式化簡，根據(jù)f（0）=0，確定出f（x）的奇偶性即可．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），得f（0）=0，
∵f（-1）=2，
∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4；
（2）令y=-x，即x+y=0，則f（x+y）=f（x）+f（y），即f（0）=f（x）+f（-x），
又∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)．

點(diǎn)評 此題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．