Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x²+y²=64，圓O₁與圓O相交，圓心為O₁（9，0）．過定點P（6，0）作動直線l與圓O，圓O₁都相交，且直線l被圓O，圓O₁截得的弦長分別為d，d₁，若d與d₁的比值總等于同一常數(shù)λ，求λ的值和圓O₁的方程．

Answer 1

分析 （1）圓O₁的半徑為4，圓心為O₁（9，0），從而可得圓O₁的標準方程；
（2）當直線l的斜率存在時，設方程為y-b=k（x-a），求出O，O₁到直線l的距離，從而可得d與d₁的值，利用d與d₁的比值總等于同一常數(shù)λ，建立方程，從而利用等式對任意實數(shù)k恒成立，得到三個方程，由此可得結(jié)論．

解答 解：∵圓O：x²+y²=64，圓O₁與圓O相交，圓O₁上的點與圓O上的點之間的最大距離為21，
∴圓O₁的半徑為4，
∵圓心為O₁（9，0），
∴圓O₁的標準方程為（x-9）²+y²=16；
當直線l的斜率存在時，設方程為y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O₁到直線l的距離分別為h=$\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，h₁=$\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴d=2$\sqrt{64-（\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$，d₁=2$\sqrt{16-（\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$
∵d與d₁的比值總等于同一常數(shù)λ，
∴[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]k²+2b[a-λ²（a-9）]k+64-b²-λ²（16-b²）=0
由題意，上式對任意實數(shù)k恒成立，所以64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2b[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同時成立，
①如果b=0，則64-16λ²=0，∴λ=2（舍去負值），從而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，顯然a=9不滿足，從而λ²=$\frac{a}{a-9}$，3a²-43a+192=0，△=43²-4×3×192=-455＜0，故方程無解，舍去；
當點P的坐標為（6，0）時，直線l的斜率不存在，此時d=4$\sqrt{7}$，d₁=2$\sqrt{7}$，∴$\fracx9nplnx{x77rldf_{1}}$=2也滿足．
綜上，滿足題意的λ=2，點P有兩個，坐標分別為（6，0），（18，0），
斜率不存在時 P（18，0），直線與圓外離，舍去．

點評 本題考查圓的標準方程，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力．