Question

3．設(shè)無窮等比數(shù)列{a_n}滿足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，則首項(xiàng)a₁的取值范圍是$（0，\frac{8}{3}）$．

Answer 1

分析 無窮等比數(shù)列{a_n}滿足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，可得0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-{q}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，即可得出．

解答 解：∵無窮等比數(shù)列{a_n}滿足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，
∴0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-{q}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴${a}_{1}=\frac{8}{3}（1-{q}^{2}）$∈$（0，\frac{8}{3}）$，
則首項(xiàng)a₁的取值范圍是$（0，\frac{8}{3}）$，
故答案為：$（0，\frac{8}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無窮等比數(shù)列的極限問題、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．