Question

15．已知x，y是兩個不相等正實數，求證：（x²y+x+y²）（xy²+y+x²）＞9x²y²．

Answer 1

分析 利用綜合法以及基本不等式整理不等式的左側，即可證得結論成立．

解答 證明：∵x，y是兩個不相等正實數，∴x²y+x+y²＞$3\root{3}{{x}^{2}{y•x•y}^{2}}$=3xy．
xy²+y+x²＞$3\root{3}{x{y}^{2}{•y•x}^{2}}$=3xy．
∴（x²y+x+y²）（xy²+y+x²）＞3xy•3xy=9x²y²．
不等式恒成立．

點評 本題考查不等式的證明，綜合法以及均值不等式的應用，考查推理能力．