Question

15．等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，若a₁₇²=a₂₄，求使得不等式S_n＞T_n成立的正整數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)a₁₇²=a₂₄，根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式求出T_n，S_n，代入不等式S_n＞T_n化簡(jiǎn)，由q＞1和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出正整數(shù)n的取值范圍．

解答 解：∵a₁₇²=a₂₄，∴${（{a}_{1}{q}^{16}）}^{2}={a}_{1}{q}^{23}$，化簡(jiǎn)可得${a}_{1}{q}^{9}=1$，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$為首項(xiàng)、以$\frac{1}{q}$為公比的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$，
又S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，代入S_n＞T_n得：$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＞$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}＞\frac{\frac{q}{{a}_{1}}\frac{{q}^{n}-1}{{q}^{n}}}{q-1}$，
化簡(jiǎn)得${{a}_{1}}^{2}{q}^{n-1}＞1$，
由${a}_{1}{q}^{9}=1$得${a}_{1}={q}^{-9}$，代入上式得，q^n-19＞1，
∵q＞1，∴n-19＞0，解得n＞19，
∴使得不等式S_n＞T_n成立的正整數(shù)n的取值范圍是（19，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列與不等式問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．