Question

16．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

Answer 1

分析 （1）取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN．由三角形中位線的性質(zhì)證得MN∥AB，且MN=AB．由此可得四邊形ABNM為平行四邊形．得到BN∥AM．再由線面平行的判定得答案；
（2）由V_E-BCD=V_D-BCE，利用等積法求得點(diǎn)D到平面BEC的距離．

解答 解：（1）證明：取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN． 在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD． 由已知AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四邊形ABNM為平行四邊形．
BN∥AM．
又∵BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC．
（2）由已知可得BC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，∴BC⊥BE，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BD•BC=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{2}=1$．
${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}BE•BC=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又V_E-BCD=V_D-BCE，設(shè)點(diǎn)D到平面BEC的距離為h．
則$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•DE=\frac{1}{3}•{S}_{△BCE}•h$，
∴$h=\frac{{S}_{△BCD}•DE}{{S}_{△BCE}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．