Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），且△BF₁F₂是邊長為2的等邊三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F₂的直線l與橢圓交于A，C兩點，記△ABF₂，△BCF₂的面積分別為S₁，S₂．若S₁=2S₂，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△BF₁F₂是邊長為2的等邊三角形，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）根據(jù)面積關系，求出C點坐標，即可求出直線斜率．

解答 解：（1）∵△BF₁F₂是邊長為2的等邊三角形，
∴a=2c=2，則c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設B到直線AC的距離為h，由S₁=2S₂，
則$\frac{1}{2}A{F}_{2}•h=2×\frac{1}{2}{F}_{2}C•h$，
即AF₂=2F₂C，
∴$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵F₂（1，0），
∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3-2{x}_{2}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{（3-2{x}_{2}）^{2}}{4}+\frac{（-2{y}_{2}）^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{4}}\\{{y}_{2}=±\frac{3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$，
∴直線l的斜率為k=$\frac{±\frac{3\sqrt{5}}{8}}{\frac{7}{4}-1}=±\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關系的應用，考查學生的運算能力．綜合性較強．