Question

14．某校舉辦安全法規(guī)知識(shí)競賽，從參賽的高一、高二學(xué)生中各抽出100人的成績作為樣本．對(duì)高一年級(jí)的100名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到成績分布的頻率分布直方圖如圖：
（1）若規(guī)定60分以上為合格，計(jì)算高一年級(jí)這次知識(shí)競賽的合格率；
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該校大量高一學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生，抽取3次，記被抽取的3名學(xué)生中的合格人數(shù)為X．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和期望E（X）；
（3）若高二年級(jí)這次知識(shí)競賽的合格率為60%，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“這次知識(shí)競賽的成績與年級(jí)有關(guān)系”．

	高一	高二	合計(jì)
合格人數(shù)
不合格人數(shù)
合計(jì)

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率直方圖求解得出高一合格率為0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8=80%．
（2）確定X=0，1，2，3，利用獨(dú)立試驗(yàn)的概率公式得出求解$P（X=0）=C_3^0{0.8^0}{0.2^3}=0.008$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8¹×0.2²=0.096，P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2¹=0.384；$P（X=3）=C_3^3{0.8^3}{0.2^0}=0.512$，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望．
（3）根據(jù)表格知識(shí)得出K²知即可，利用獨(dú)立檢驗(yàn)判斷有9%的把握認(rèn)為“這次知識(shí)競賽的成績與年級(jí)有關(guān)系”．

解答 解：（1）高一合格率為0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8=80%．
（2）X=0，1，2，3，
$P（X=0）=C_3^0{0.8^0}{0.2^3}=0.008$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8¹×0.2²=0.096，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2¹=0.384，
$P（X=3）=C_3^3{0.8^3}{0.2^0}=0.512$，

X	0	1	2	3
p	0.008	0.096	0.384	0.512

E（X）=3×0.8=2.4．
（3）

	高一	高二	合計(jì)
合格人數(shù)	80	60	140
不合格人數(shù)	20	40	60
合計(jì)	100	100	200

K²=$\frac{200（80×40-20×60）^{2}}{100×100×140×60}$≈9.5＞6.635．
所以有99%的把握認(rèn)為“這次知識(shí)競賽的成績與年級(jí)有關(guān)系”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀能力，讀圖能力，學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．