Question

1．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且cos A=$\frac{3}{5}$．
（1）求sin² $\frac{B+C}{2}$+cos2A的值；
（2）若b=2，△ABC的面積S=4，求a．

Answer 1

分析 （1）利用降冪公式化簡(jiǎn)所求后，代入已知即可得解．
（2）由cosA=$\frac{3}{5}$，可求sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，解得c．由余弦定理即可解得a的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵cosA=$\frac{3}{5}$．
∴sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1-cos（B+C）}{2}$+cos2A
=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos²A-1=$\frac{13}{25}$．（6分）
（2）∵cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，得4=$\frac{1}{2}$×2c×$\frac{4}{5}$，解得c=5．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：a²=4+25-2×2×5×$\frac{4}{5}$=17，
∴a=$\sqrt{17}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變化的應(yīng)用，考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．