Question

5．二項式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，且常數(shù)項為-160，則${∫}_{a}^{2}$（x²+sinx）dx的值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由題意求得n值，寫出二項展開式的通項，由x得指數(shù)為0求得r值，再由常數(shù)項為-160求得a，代入定積分，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，分別代入積分上限和積分下限后作差得答案．

解答 解：∵二項式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，
∴n=6，即（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ =（x+$\frac{a}{x}$）⁶，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{a}{x}）^{r}$=${a}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
令6-2r=0，解得r=3．
∴展開式中的常數(shù)項為${a}^{3}{C}_{6}^{3}=-160$，即a=-2．
∴${∫}_{a}^{2}$（x²+sinx）dx=${∫}_{-2}^{2}（{x}^{2}+sinx）dx=（\frac{1}{3}{x}^{3}-cosx）{|}_{-2}^{2}$
=$\frac{8}{3}-cos2+\frac{8}{3}+cos（-2）=\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質，考查定積分的求法，關鍵是熟記二項展開式的通項與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，是基礎題．