Question

4．設(shè)有一組圓C_k：（x-k）²+（y-k）²=4，（k∈R），下命題正確的是①②③⑤（寫(xiě)出所有正確結(jié)論編號(hào)）．
①不論k如何變化，圓心C_k始終在一條直線上；
②所有圓C_k均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）；
③存在一條定直線始終與圓C_k相切；
④當(dāng)k=0時(shí)，若圓C_k上至少有一點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離為1，則m的取值范圍為（3$\sqrt{2}$，+∞）；
⑤若k$∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$，若圓C_k上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1．

Answer 1

分析 直接求出圓心所在直線方程判斷①；把（3，0）代入圓的方程，求得k無(wú)解判斷②；舉例說(shuō)明③正確；當(dāng)k=0時(shí)由點(diǎn)到直線的距離公式求出m的范圍判斷④；把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓x²+y²=1與圓C_k有兩個(gè)交點(diǎn)，求出k的范圍判斷⑤．

解答 解：圓心在直線y=x上，①正確；
若（3-k）²+（0-k）²=4，化簡(jiǎn)得2k²-6k+5=0，△=36-40=-4＜0，無(wú)解，②正確；
對(duì)于③，存在定直線$y=x±2\sqrt{2}$始終與圓C_k相切，③正確；
對(duì)于④，但k=0時(shí)，圓的方程為x²+y²=4，若圓C_k上至少有一點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離為1，
則圓心到該直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}≤2+1$，m∈[-3$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$]，④錯(cuò)誤；
圓C_k上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓x²+y²=1與圓C_k有兩個(gè)交點(diǎn)，
則k∈$（-\frac{3\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）∪（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$，⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的判斷，是中檔題．