Question

20．己知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$（x∈R）．
（1）求f（x）+f（1-x）；
（2）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2013}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的解析式，可證f（x）+f（1-x）=1．
（2）由倒序相加法可得所求為1007對(duì)的組合，即1007個(gè)1，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}•{4}^{x}}{{{4}^{x}•{4}^{1-x}}^{\;}+2•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{{4}^{x}+2}$=1．
f（x）+f（1-x）=1；
（2）由（1）可得S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2013}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007×1=1007．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，倒序相加法求和，得出f（x）+f（1-x）=1并得出所求即為1007對(duì)項(xiàng)的和是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．