Question

5．如圖，過(guò)拋物線y²=x上一點(diǎn)A（4，2）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC，交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值．

Answer 1

分析 設(shè)出直線BA、AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出C，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線BC的斜率為定值

解答 證明：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，2），設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由已知設(shè)BA：m（y-2）=x-4，即：x=my-2m+4，
代入拋物線的方程得：y²=my-2m+4，即y²-my+2m-4=0，
則：y₁+2=m，故：y₁=m-2，
設(shè)CA：-m（y-2）=x-4，即：x=-my+2m+4，
代入拋物線的方程得：y²=-my+2m+4，即y²+my-2m-4=0，
則：y₂+2=-m，故y₂=-m-2，…（10分）
直線CB的斜率k_CB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2m}{-8m}$=-$\frac{1}{4}$，
所以：直線BC的斜率為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．