Question

3．設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的定點(diǎn)（x₀≠±a）…又E，F(xiàn)是C上的兩個動點(diǎn)直線AE，AF的斜率互為相反數(shù)．證明：直線EF的斜率為定值．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．設(shè)直線AE的斜率為k，則直線AF的斜率為-k．直線AE的方程為：y-y₀=k（x-x₀），則直線AF的方程為y-y₀=-k（x-x₀）．與橢圓的方程聯(lián)立化為：（b²+a²k²）x²+2a²k（y-kx₀）x+${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₀+x₁，可得x₁，x₂．可得x₂-x₁，x₁+x₂-2x₀．
利用斜率計(jì)算公式可得：k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}-2{x}_{0}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即可證明．

解答 證明：如圖所示，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
設(shè)直線AE的斜率為k，則直線AF的斜率為-k．
直線AE的方程為：y-y₀=k（x-x₀），則直線AF的方程為y-y₀=-k（x-x₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{y}_{0}-k{x}_{0}}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
化為（b²+a²k²）x²+2a²k（y-kx₀）x+${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²=0，
△＞0，
∴x₀+x₁=$\frac{2{a}^{2}k（k{x}_{0}-{y}_{0}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}=\frac{{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}-2{a}^{2}k{y}_{0}-^{2}{x}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
同理可得：x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}+2{a}^{2}k{y}_{0}-^{2}{x}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴x₂-x₁=$\frac{4{a}^{2}k{y}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁+x₂-2x₀=$\frac{-4^{2}{x}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}-2{x}_{0}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k•\frac{-4^{2}{x}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{\frac{4{a}^{2}k{y}_{0}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$為定值．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．