Question

1．求函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$的值域．

Answer 1

分析 法一：求導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$，可判斷函數(shù)$\sqrt{5-x}-\sqrt{x}$在[0，5]上單調(diào)遞減，從而可判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而得出$x=\frac{5}{2}$時，原函數(shù)取到最大值，x=0或x=5時，原函數(shù)取得最小值，這樣即可得出原函數(shù)的值域，再一種方法是對原函數(shù)式兩邊平方，求y²的范圍，再開方，從而得出原函數(shù)的值域．
法二：對函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$的等號兩端平方后求得最值，再開方，

解答 解：法一：函數(shù)的定義域?yàn)閇0，5]；
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$；
函數(shù)y=$\sqrt{5-x}-\sqrt{x}$在[0，5]上為減函數(shù)，令$\sqrt{5-x}=\sqrt{x}$，則x=$\frac{5}{2}$；
∴$x∈[0，\frac{5}{2}）$時，y′＞0，x$∈（\frac{5}{2}，5]$時，y′＜0；
∴$x=\frac{5}{2}$時，原函數(shù)取得最大值$\sqrt{10}$；
又x=0時，y=$\sqrt{5}$，x=5時，y=$\sqrt{5}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?[\sqrt{5}，\sqrt{10}]$．
法二：${y}^{2}=（\sqrt{x}+\sqrt{5-x}）^{2}=5+2\sqrt{-{x}^{2}+5x}$；
$-{x}^{2}+5x=-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{25}{4}≤\frac{25}{4}$；
x=0，和5時，-x²+5x=0；
∴$0≤-{x}^{2}+5x≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}+5x}≤\frac{5}{2}$；
∴5≤y²≤10；
∴$\sqrt{5}≤y≤\sqrt{10}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)?[\sqrt{5}，\sqrt{10}]$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，以及單調(diào)性定義的應(yīng)用．