Question

10．設(shè)A、B兩點(diǎn)在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，點(diǎn)M（1，$\frac{1}{2}$）是AB的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）若該橢圓上的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差，由直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線的斜率，進(jìn)而得到所求直線方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)及距離，求得C到直線的距離，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求面積．

解答 解：（1）M的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即有M在橢圓內(nèi)，
可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
兩式相減可得，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
則k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直線AB的方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即為x+2y-2=0；
（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即有|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
C到直線AB的距離為d=$\frac{|-\sqrt{3}+1-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
或$\frac{|-\sqrt{3}-1-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
或S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程及應(yīng)用，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)，以及運(yùn)用點(diǎn)差法求直線的斜率，屬于中檔題．