Question

8．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{a_n}，{f（a_n）}，仍是等比數列，則稱f（x）為“等比函數”．現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：
①f（x）=3^x；
②f（x）=x³； 
③f（x）=$\frac{2}{x}$； 
④f（x）=log₂|x|．
則其中是“等比函數”的f（x）的序號為②③．

Answer 1

分析 根據新定義，結合等比數列中項的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個函數，即可得到結論．

解答 解：由等比數列性質知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①當f（x）=3^x時，f（a_n）f（a_n+2）=3^a_n•3^a_n+2=3^a_n+a_n+2≠3^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正確；
②當f（x）=x³時，f（a_n）f（a_n+2）=a_n³a_n+2³=（a_n+1³）²=f²（a_n+1），故②正確；
③當f（x）=$\frac{2}{x}$時，f（a_n）f（a_n+2）=$\frac{2}{{a}_{n}}•\frac{2}{{a}_{n+2}}$=$（\frac{2}{{a}_{n+1}}）^{2}$=f²（a_n+1），故③正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=log₂|a_n|log₂|a_n+2|≠log₂|a_n+1|²=f²（a_n+1），故④不正確
故答案為：②③．

點評 本題考查等比數列性質及命題的真假判斷與應用，正確運算，理解新定義是解題的關鍵，屬中檔題．