Question

3．設各項均為正數的等比數列{a_n}的公比為q，[a_n]表示不超過實數a_n的最大整數（如[1.2]=1），設b_n=[a_n]，數列{b_n}的前n項和為T_n，{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）若a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，求S_n及T_n；
（Ⅱ）若對于任意不超過2015的正整數n，都有T_n=2n+1，證明：（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出等比數列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n，再求數列{b_n}的通項公式b_n與前n項和T_n；
（Ⅱ）由數列{b_n}的前n項和T_n，得出通項公式b_n，從而得出a_n的取值范圍，再結合a₁求出q的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）在等比數列{a_n}中，a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，
∴通項公式a_n=4•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-3}$，
前n項和為S_n=$\frac{4（1{-（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=8（1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$）；
∵a₁=4，a₂=2，a₃=1，且n＞3時，0＜a_n＜1；
∴數列{b_n}的通項公式為b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2，n=2}\\{1，n=3}\\{0，n＞3}\end{array}\right.$，
前n項和為T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{6，n=2}\\{7，n≥3}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵T_n=2n+1，（1≤n≤2015），
且b₁=3，
∴b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2015），
又∵b_n=[a_n]，∴3≤a₁＜4，
∴2≤a_n＜3，（2≤n≤2015），
又∵q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，∴0＜q＜1，…①
∴q²⁰¹³=$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2}}$，
∴2≤a₂₀₁₅＜3，
2≤a₂＜3，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{{a}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$＜q²⁰¹³≤$\frac{3}{2}$，
∴${（\frac{2}{3}）}^{\frac{1}{2013}}$＜q≤${（\frac{3}{2}）}^{\frac{1}{2013}}$，…②
由①②兩式可得，${（\frac{2}{3}）}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

點評 本題考查了等比數列的綜合應用問題，也考查了新定義的取整函數的應用問題以及不等式的證明問題，是綜合性題目．