Question

7．如圖所示，已知在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠AEF=θ，當(dāng)θ變化時，求三棱錐P-AEF的體積的最大值．

Answer 1

分析 等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△AEF中，算出AF、EF，可得S_△AEF，利用三角函數(shù)知識，即可得出答案．

解答 解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2$\sqrt{2}$，
∵AE⊥PB，∴AE=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$，∴PE=BE=$\sqrt{2}$．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
結(jié)合EF?平面AEF，可得PB⊥EF．
∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF=$\sqrt{2}$sinθ，EF=$\sqrt{2}$cosθ
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$sinθ×$\sqrt{2}$cosθ=$\frac{1}{2}$sin2θ
∴當(dāng)sin2θ=1，即θ=45°時，S_△AEF有最大值為$\frac{1}{2}$，
此時，三棱錐P-AEF的體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，屬于中檔題．同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，是一道綜合性較強的題．